Ортогональные системы. Процесс ортогонализации Грама–Шмидта. Ортонормированный базис

$x$ и $y$ из пространства со скалярным произведением называются **ортогональными**, если $xy = 0$. Обозначение: $x \perp y$ Набор векторов называется **ортогональным**, если любые 2 различных вектора из этого набора ортогональны. Ортогональный набор называется **ортонормированным**, если длины всех векторов из него равны $1$.

1. $\forall{x \in V}~~ \mathbf{0} \perp x$ 2. В евклидовом пространстве два ненулевых вектора ортогональны $\iff$ угол между ними прямой

$$a \perp b \implies |a + b|^{2} = |a|^{2} + |b|^{2}$$

$$|a + b|^{2} = (a+b)(a+b) = aa + ab + ba + bb = aa + bb = |a|^{2} + |b|^{2} ~~~\square$$

"It depends" (С)

Любой ортогональный набор ненулевых векторов линейно независим.

Пусть $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}\}$ - такой набор. Предположим, что: $$\lambda_{1}a_{1} + \lambda_{2}a_{2} + \dots + \lambda_{k}a_{k} = 0,~~ \lambda_{i} \in F,~ i=\overline{1,k}$$ Для каждого $i$ скалярно умножим обе части этого равенства на $a^{i}$: $$0 = (\lambda_{1}a_{1} + \dots \lambda_{k}a_{k})a_{i} = \lambda_{1}a_{1}a_{i} + \dots + \lambda_{i}a_{i}a_{i} + \dots + \lambda_{k}a_{k}a_{i} = \lambda_{i}a_{i}a_{i}$$ в силу ортогональности $A$. $$a_{i} \neq 0 \Rightarrow a_{i}a_{i} \neq 0 \implies \lambda_{i}a_{i}a_{i} = 0 \Rightarrow \lambda_{i} = 0$$ А значит $A$ - линейно независим. $~~~\square$

Ортогональный (ортонормированный) набор векторов, который является базисом, называется **ортогональным** (**ортонормированным**) **базисом**

Пусть $P$ - ортонормированный базис пространства $V$ со скалярным произведением. Тогда: $$\forall{x, y \in V}~~ xy = [x]^{T}_{P} \cdot \overline{[y]_{P}}$$

Стоит разложить $x$ и $y$ по базису, а затем расписать скалярное произведение, попреобразовывать и получить то, что нужно.

Пусть $a_{1}, \dots , a_{n}$ - линейно независимая система векторов пространства $V$ со скалярным произведением. Тогда в $V$ существует ортогональная система ненулевых векторов $b_{1}, \dots, b_{n}$, линейная оболочка которой совпадает с линейной оболочкой системы $a_{1}, \dots, a_{n}$

Будем доказывать по индукции по $n$. База индукции: $n = 1 \implies$ положим $b_{1} = a_{1}$ Шаг индукции: Пусть $1 \leq i < n$ и уже найден ортогональный набор $b_{1}, \dots, b_{i}$, линейная оболочка которого совпадает с линейной оболочкой $a_{1}, \dots, a_{i}$. Ищем $b_{i+1}$ в виде: $$b_{i+1} = \alpha_{1}b_{1} + \dots + \alpha_{i}b_{i} + a_{i+1} ~~~~~(*)$$ где $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{i}$ - скаляры, которые нужно найти. Чтобы найти $\alpha_{k}$ сделаем следующее: $$\begin{align} b_{i+1} &= \alpha_{1}b_{1} + \dots + \alpha_{i}b_{i} + a_{i+1} ~~\Huge|\normalsize \cdot b_{k} ~~~~~(*) \\ b_{i+1}b_{k} &= \alpha_{k}b_{k}b_{k} + a_{i+1}b_{k} \\ 0 &= \alpha_{k}b_{k}b_{k} + a_{i+1}b_{k} \\ \alpha_{k} &= -\dfrac{a_{i+1}b_{k}}{b_{k}b_{k}} \end{align}$$ При таких значениях $\alpha_{1}, \dots, \alpha_{i}$ вектор $b_{i+1}$ ортогонален всем векторам $b_{1}, \dots, b_{i}$, поэтому система $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i+1}$ - ортогональна. Так как $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i}$ - линейный комбинации $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i}$, имеем: $$b_{i+1} = \lambda_{1} a_{1} + \lambda_{2} a_{2} + \dots + \lambda_{i} a_{i} + a_{i+1}$$ Иными словами, вектор $b_{i+1}$ равен некоторой нетривиальной линейной комбинации $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i+1}$. Так как эти вектора линейно независимы, $b_{i+1} \neq 0$ Мы получили ортогональный набор ненулевых векторов $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i+1}$, который лежит в линейной оболочке $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i+1}$. С другой стороны, по предположению индукции $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i}$ лежат в линейной оболочке $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i}$, а вектор $a_{i+1}$ является линейной комбинацией $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i+1}$ в силу равенства $(*)$. Поэтому линейные оболочки $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{i+1}$ и $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i+1}$ совпадают. $~~~\square$

В любом конечномерном пространстве со скалярным произведением существует ортонормированный базис.

Пусть $V$ - такое пространство, $\mathrm{dim}~V = n$. Возьмём произвольный базис в $V$ и применим к нему процесс Грама-Шмидта. Получим ортогональную систему из $n$ векторов, порождающую $V$, а следовательно, - ортогональный базис в $V$. Разделим каждый вектор этого базиса на его длину, получим ортонормированный базис пространства $V$ $~~~\square$

Любую ортогональную систему ненулевых векторов конечномерного пространства со скалярным произведением можно дополнить до ортогонального базиса этого пространства.

Пусть $V$ - такое пространство, $\mathrm{dim}~V = n$, $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ - ортогональный набор ненулевых векторов из $V$. Тогда $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ - линейно независимы, значит их можно дополнить векторами $a_{k+1}, a_{k+2}, \dots, a_{n}$ до базиса $V$. Применив к этому базису процесс Грама-Шмидта, получим ортогональный базис в $V$. Легко проверить, что на первых $k$ шагах мы будем получать именно $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{k}$ $~~~\square$

Достаточно очевидно, что данное следствие выполняется и для ортонормированных систем.